0 前言
五軸數控加工技術近年來被廣泛的應用于民用工業和軍事工業產品的加工。由于同傳統三軸加工相比增加了兩個附加的自由度，五軸加工能夠獲得更高的生產效率和更好的加工質量，因此成為了數控領域研究的重點。
五軸加工中的刀具路徑規劃問題一直是能否實現高效的自由曲面加工的關鍵。目前，在實際生產中應用較多的刀具路徑規劃方法還是比較基本的等參數線加工方法和等截面線加工方法[1]，由于上述方法均為按事先給定的方向確定加工路徑，加工表面殘余高度誤差的分布不均勻，為保證最大殘余高度誤差而使走刀行距過于保守，加工效率偏低。因此提高加工效率，充分發揮五軸數控加工設備的性能是亟待解決的問題[2]。
為了產生高效合理的刀具路徑，國內外學者提出了多種不同的方法，并且在應用中取得了一定的成效。國外學者如RAO 等提出Principal axis 方法， PI 等提出Grind-free 方法，LIN 等發展出誤差自適應生成算法；周艷紅、周云飛、高軍和楊勇生等國內學者也在這個方面進行了深入和細致的研究，提出了不同的五軸刀具軌跡生成算法并得到了實際應用。大部分現有的方法采用類似的處理過程，從曲面的一條邊界作為初始路徑，通過一定的算法得到偏置的后續路徑。本文采用了一種新的方法，通過計算曲面各處的有效加工域的寬度和最優域加工方向，搜索得到曲面上一條優化的初始化路徑，并且構建了一種迭代算法生成相鄰的刀具路徑。最終生成的(近似)最優路徑具有最大的切削寬度和最短的刀具路徑總長度。
1 有效加工域參數計算
數控加工成形過程就是刀具沿著預定的刀具路徑對工件毛坯進行切削加工，最終形成工件外形的過程。切削過程中刀具通過掃掠在被加工表面形成了一個加工區域，此加工的部分區域與理想加工面的誤差小于或等于預定的加工精度要求，而其余部分區域則不符合加工精度要求。本文將符合加工精度要求的那部分加工區域定義為有效加工域。可見，要將工件表面加工成形，必須滿足有效加工域完全覆蓋被加工面這一要求。
有效加工域的兩個最重要的特征參數是域寬度和域切削方向。域寬度表征有效加工域覆蓋區域的大小，域切削方向表征了產生的刀具路徑的流向，直接影響域寬度值。兩者都會對最終產生的刀具路徑質量產生重大的影響，因此是本文描述的重點。有效加工域參數計算的目標就是得到具有最大域寬度的刀具路徑及其流向。有效加工域的形成涉及到加工表面與加工刀具的相互作用，對其研究必然牽涉到對被加工表面的幾何特征和刀具的幾何特征的描述問題。對于工件被加工面的描述已經有了統一的數學表達，因此主要討論刀具的幾何描述問題。
1.1 刀具的統一參數表達
為了使得分析過程不局限于某種特殊形狀的刀具，需要尋求一種刀具的通用表達形式，使其可以用于各種加工刀具。由于NC 加工中刀具的旋轉速度相對進給速度來說要快的多，所以可以用一系列相連的直線或曲線的回轉面來表示刀具的幾何形狀，所以本文采用了如圖1 所示的通用刀具統一參 數表達[3]。
部分、中間的圓環部分和下面的圓錐部分。其中參數r 表示刀具的名義半徑，h 表示倒角圓的圓心到刀尖的垂直距離，L 表示刀具的軸向長度，e 表示倒角圓的圓心到刀軸的徑向距離。其他的四個角度參數α，β，θ，φ分別如圖1 標示。改變各變量的取值便可以得到各常用刀具模型。如圓環銑刀可以表示為一種α =β = 0，e = r – r1 的通用刀具。由刀具的統一參數表達可以建立了刀具的幾何描述矩陣Mt [3]，本文不再贅述。
1.2 有效加工域寬度和域切削方向
有效加工域寬度是影響生成的刀具路徑質量最重要的因素。其值大小與刀具在工件表面切削時的姿態有關。為方便描述刀具在加工面上的運動姿態，在刀具與工件表面的接觸點A 處引入一個局部坐標系(Oxl yl zl )，如圖2 所示。
圖 2 中點B 為刀具中心位置點，xl 軸的方向為A 處的瞬時切削方向，zl 軸的方向為A 的曲面外法線方向，yl 軸的方向由xl 軸和zl 軸通過右手螺旋法則確定。λ定義為刀具繞yl 軸的傾角，ω 定義為刀具繞zl 軸的擺轉角[4]。kmax 表示被加工面A 處最大主曲率方向單位矢量，kmin 表示A 處的最小主曲率方向單位矢量。
在加工中，每個時刻刀具掃描體外形與被加工面的相互作用生成了此刻的刀具有效掃描體外形，從而最終決定了切削產生的幾何形貌。瞬時的刀具有效掃描體外形上的任意一點P 必須滿足條件：P點處刀具掃描體外形曲面外法線矢量必須與的此時的刀具運動向量相垂直。當刀具有效掃描體外形確定后，通過計算刀具有效掃描體外形上的點與工件表面的距離，就可以確定有效加工域的寬度b。設刀具有效掃描體外形上的存在兩個位置點P1、P2，這兩點與被加工曲面的距離等于預定的加工公差要求τ，則有效加工域寬度的定義如下
即有效加工域寬度可以表示如下：刀具有效掃描體外形上與被加工曲面的距離等于τ的兩點，此兩者之間的距離在垂直于切削方向(矢量Yl方向)上的投影長度。
為了得到最大的域寬度值，加工時應當讓刀具調整姿態在無干涉的條件下盡可能的匹配被加工表面的幾何形貌。因此域寬b 是一個關于刀具幾何描述Mlt (s)和公差τ的函數。同時還應注意到，在曲面的某處，不同的切削方向得到的有效加工域寬度是不同的。如圖3 所示，在被加工曲面的某處P，刀具沿著θa 方向切削時相對應的有效域寬度為ba，沿著θb 方向切削時對應的有效域寬度為bb，此時兩者刀具的空間姿態Mlt (s)和預定的公差τ都相同，但得到的有效域寬度不同。
現在引入一個新的局部坐標系( Ox y z κ κ κ ) ，xκ軸的方向為A處的曲面最大主曲率方向( max κ 方向)， yκ 軸的方向為曲面最小主曲率方向( min κ 方向)，zκ軸的方向為P 點處的外法線方向。定義瞬時切削方向和xκ 軸的夾角為切削方向角θ。綜上所述，b 也是關于切削方向角θ的函數。即b =W(Mlt (s), θ , τ ) =W(Mt (s), λ , ω, θ , τ ) (4)通常，當切削方向與最小主曲率方向相同或非常接近時，可以取到最大的有效域寬度[5-6]。
為減少計算量，本方法以一定間隔均勻分布的曲面參數u，v 采樣該處的優化有效域寬度和切削方向角，得到一個離散的優化域寬度和切削方向角的曲面分布。對于未采樣的曲面區域，可以通過相鄰的四個采樣點的數值插值計算出未采樣點的域寬度和方向角數值。從這個意思上說，有效加工域規劃方法是一種近似最優的刀具路徑生成算法。
2 刀具路徑的搜索迭代生成
傳統的刀具路徑生成算法一般都從曲面的某一條邊界開始計算生成刀具路徑。這種方法雖然方便了計算過程，但不能保證由此邊界產生的刀具路徑即是最優的。有效加工域規劃法采用搜索算法得到整個曲面上一條最優的初始刀具路徑，通常情況下這條初始路徑不是曲面的邊界；然后通過迭代算法生成其余的偏置路徑，最終使得生成的路徑完全覆蓋整個曲面。
2.1 最優初始路徑的搜索確定
通過上面所述的方法我們得到了被加工曲面上均勻分布的有效加工域，以及每個加工域的域寬度和切削方向角的集合。成為初始刀具路徑的要求是此路徑通過的有效加工域應該具有最大的平均有效域寬度。搜索曲面四個邊界上的有效加工域，參考每個有效加工域的切削方向角確定下一個有效加工域，連接這兩個有效加工域作為刀具路徑的一部分，重復此過程直到遇到處于曲面邊界上的有效加工域停止。這樣便生成了一系列的刀具路徑，因為每條路徑都是沿著各個離散加工域的最佳切削方向生成的，因此這些路徑上的每一個有效加工域都取到了本域的最大域寬度。這些路徑稱為候選初始路徑。然后從這一系列候選初始路徑中選出具有最大平均域寬度的一條路徑做為初始路徑。設有N 個離散的有效加工域位于某段候選初始路徑上，此路徑的平均域寬度bav 定義為
式中bi —— 編號 i 的路徑的最大域寬度值計算出每條候選路徑的平均域寬度值 bav，取bav 最大值的路徑作為初始路徑。
2.2 后續刀具路徑的迭代生成
確定了最佳初始路徑后，便可以通過迭代算法生成相鄰的路徑。迭代算法通過一條已知的刀具路徑生成相鄰的一條路徑，然后利用剛生成的路徑重復算法過程產生下一條路徑，如此往復循環直到所有的有效加工域都被路徑覆蓋。下面具體介紹迭代算法的具體實現。
引入一個新的參數 f，f 表示當前路徑的實際平均域寬度與初始路徑的平均域寬度bav_max 的比值，稱為刀具路徑的質量系數，即
式(7)說明要取的路徑TPi+1 上的對應點Pi+1, j 與當前Pi, j 的連線方向與有效域寬度的方向相同，即在yl軸方向上。設加工曲面的參數表達為S(u,v)，計算保證最大域寬度條件下的Pi+1, j 坐標必須滿足
在實際加工時，刀具的空間姿態和被加工曲面的幾何特性在每個不同的A 處都不同，因此具有不同的有效加工域寬度和切削方向角。這意味著兩條相鄰的刀具路徑通常不會是相互平行的[7]。為了防止生成的相鄰的刀具路徑間存在沒有被刀具路徑覆蓋的間隙，還需對刀具路徑進行校驗和調整，使之滿足下面兩個要求。
(1) 相鄰兩條刀具路徑的邊界線沒有交點。
(2) 相鄰兩條刀具路徑至少在曲面某一處重合。
條件(1)保證了兩條相鄰路徑的邊界或者是每處都互相有一部分重疊，或者是沒有任何一處重疊。條件(2)保證了兩條相鄰路徑必定有一處重合，即排除了條件一中完全不重疊的情況。這就保證了相鄰的刀具路徑都相互重疊一部分，路徑間不存在間隙。通過上述方法，以路徑TPi 為基礎生成路徑TPi+1，然后以路徑TPi+1 為基礎生成路徑TPi+2，整個刀具路徑生成的過程就是上述方法的迭代過程。
隨著迭代過程的進行，通常情況下所生成刀具路徑的質量系數將逐漸減小，為了保證得到高效的刀具路徑，必須對產生的刀具路徑的質量系數進行一定的限制，否則迭代的后期可能產生大量的質量不佳的刀具路徑。本文采取的方法是預先設定質量系數的下限fmin，當檢測到當前生成的刀具路徑的質量系數低于fmin 時，則停止本次迭代過程。然后在未加工區域中重復上述的搜索迭代算法，得到新的初始路徑，以初始路徑為基礎進行新的一輪迭代運算。如此往復，直到被加工表面上的所有有效加工域都被刀具路徑覆蓋時結束算法運行。
3 算法的實現及應用示例
3.1 算法實現流程
在微機上以上述算法為基礎，采用Matlab 和Visual C++環境編寫程序實現算法過程。算法程序流程如圖4 所示。
程序以已知的被加工曲面作為輸入，以最終的優化刀具路徑集作為輸出，并且可以根據用戶需要改變刀具路徑質量系數的下限值以及有效加工域在曲面上的分布密度。
3.2 應用示例
選取熱壓塑模具曲面的一部分作為示例被加工面，在xyz'a'c 型的五軸數控機床環境下采用環形刀具進行切削加工。刀具的名義半徑r = 8 mm，圓環角圓半徑r1 =1.5 mm。刀具的兩個錐度角α = β = 0o，加工預定公差τ= 0.05 mm。為了方便比較，將刀具傾角λ和ω 設置為固定值，λ= 10o，ω=3o，刀具路徑最小質量系數設為fmin = 0.75。
采用傳統的等參數線法和本文提出的有效加工域規劃法分別生成相應的刀具路徑，下表是兩種方法的結果對比。
采用上述兩種方法生成的刀具路徑在VERICUT 下進行曲面誤差分布模型數據分析，圖5顯示了兩種刀具路徑誤差分布比較。
上述對比結果可以看出，有效加工域規劃方法生成的刀具路徑數目和總長度都減少了，尤其是路徑總長度減少了35.5%，與等參數線法相比較，采用有效加工域規劃法可以得到更短的刀具路徑總長度以及加工質量更高的加工表面。不足的是快速移動路徑的長度反而加大了，作者認為這是由于等參數線法采用之字型走刀方式，因此刀具快速移動的距離比較短，而有效加工域規劃法沒有對路徑的進退刀點進行優化，這一不足也是今后對本方法進一步完善的重要方向。
4 結論
(1) 提出了一種新的五軸數控加工刀具路徑生成方法——有效加工域規劃法。這種方法根據刀具的幾何特征和空間姿態結合曲面的幾何特性，構造曲面上的有效加工域集合，計算得到(近似)最優的域寬度和切削方向角參數。同時構造了一種搜索迭代算法，用于得到初始路徑和相鄰的后續路徑。
(2) 應用示例顯示有效加工域規劃法相對于傳統的五軸刀具路徑生成算法具有較明顯的優勢，同樣的加工條件下可以得到總長度更短的刀具路徑和更短的加工時間，并且能得到更高的加工精度。
(3) 應用過程中也發現了本方法的一些不足，如刀具路徑質量系數的選擇依靠主觀判斷，不參與切削的刀具路徑(如快速移動路徑)沒有得到足夠的優化等，需要進一步的改進完善。
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