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      １　單對齒輪的嚙合剛度模型

      本文主要考慮在輸入轉(zhuǎn)速和負載扭矩不變的條件下，輸出齒輪轉(zhuǎn)角的變化情況。嚙合剛度模型是一個最基本的齒輪副分析模型，只考慮了齒輪副本身的影響因素，忽略了傳動軸的彎曲變形、扭轉(zhuǎn)變形和軸承的支撐剛度等。齒輪的嚙合剛度分析模型如圖１所示。

      其中，θｐ、θｇ分別為驅(qū)動齒輪、從動齒輪的扭轉(zhuǎn)位移；

      Ｒｐ、Ｒｇ分別為驅(qū)動齒輪、從動齒輪的基圓半徑；Ｔｇ、Ｔｐ分別為負載轉(zhuǎn)矩和輸入轉(zhuǎn)矩；Ｊｐ、Ｊｇ分別為驅(qū)動齒輪、從動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；ｋｍ為輪齒的嚙合綜合剛度；ｃｍ為輪齒的嚙合阻尼。

      齒輪嚙合剛度模型的建模條件是：驅(qū)動輪ｐ勻速轉(zhuǎn)動，負載扭矩Ｔｇ為恒定負載。假設在嚙合線方向上齒輪的相對位移為ｘ，則ｘ＝Ｒｐθｐ－Ｒｇθｇ。由于齒輪間的嚙合力Ｆｋｍ＝ｃｍｘ　·＋ｋｍｘ，則Ｆｋｍ為：

      齒輪副的動力學方程為：

      ２　傳動鏈嚙合剛度動力學模型

      ２．１　直齒輪系統(tǒng)嚙合剛度動力學模型［１］

      在單對齒輪副嚙合剛度分析模型的基礎之上，考慮了傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度之后就形成了直齒輪子系統(tǒng)的動力學模型，如圖２所示。其中，Ｊ１２、Ｊ１３、Ｊ３３、Ｊ４２分別為各直齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；θ１２、θ１３、θ３３、θ４２分別為各直齒輪的旋轉(zhuǎn)角；Ｔ１２為輸入端的驅(qū)動扭矩；Ｔ４２為輸出端的負載扭矩；ｃｎ為齒輪副的嚙合阻尼；ｋｎ為齒輪副的嚙合剛度；ｋⅢ為Ⅲ軸的扭轉(zhuǎn)剛度。

      直齒輪系統(tǒng)分析模型的前提條件是：輸入齒輪為勻速旋轉(zhuǎn)運動，輸出負載扭矩為恒定負載。結(jié)合式（２）和牛頓力學理論，可以得到如下的微分方程組：

      其中：Ｒ１２、Ｒ１３、Ｒ３３、Ｒ４２分別為各直齒輪的基圓半徑。

      根據(jù)Ｌａｐｌａｃｅ變換對式（３）進行處理，得到關于變量ｓ的多元一次方程組，代入設計數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)保密），得出直齒輪子系統(tǒng)動力學模型的轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)Ｇ４２為：

      其中：θ１２、θ４２分別是θ１２、θ４２的Ｌａｐｌａｃｅ變換。

      其中：ＲＳ、ＲＮ分別為太陽輪和行星輪的基圓半徑。

      （２）內(nèi)齒圈與行星輪在嚙合線方向上的相對位移δＲＮ為：

       ２．２．２　齒輪嚙合力的計算

      （１）內(nèi)齒圈與行星輪的嚙合力ＦＲＮ為：

      將式（４）～式（８）代入到式（９）、式（１０）中，并轉(zhuǎn)化成方程組的形式為：

      式（１１）中的變量為：ＴＣ，θＳ，θ１，θ２，θ３。由于θ１＝θ２＝θ３，故用θＮ來替代，使之滿足θＮ＝θ１＝θ２＝θ３。將
 

      式（１１）進行Ｌａｐｌａｃｅ變換，代入設計數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)保密）求得轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)ＧＣＳ：

      其中：θＣ、θＳ分別為θＣ、θＳ的Ｌａｐｌａｃｅ變換形式。

     ３　傳動鏈動力學總模型

      將前面的直齒輪系統(tǒng)和行星差速器系統(tǒng)的動力學模型進行綜合，用轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)來表示最終的動力學模型。由于這兩個子系統(tǒng)是串聯(lián)關系，因此總傳動鏈模型的轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)為：

      運用ＭＡＴＬＡＢ軟件對轉(zhuǎn)角傳遞函數(shù)進行單位斜坡響應分析，得到的曲線如圖４、圖５所示。

      ４　結(jié)論

      由圖４、圖５可得出如下結(jié)論：①在嚙合剛度影響下的傳動鏈轉(zhuǎn)角的輸出曲線與輸入曲線之間存在著轉(zhuǎn)角誤差，這會影響該機床傳動鏈的傳動精度和傳遞的準確性；②轉(zhuǎn)角誤差響應曲線經(jīng)過一定的震蕩后期后，穩(wěn)定為一條水平的直線，這表明嚙合剛度影響下的傳動鏈轉(zhuǎn)角誤差是一個不隨時間變化的恒定；③齒輪的理論轉(zhuǎn)角相應曲線的斜率與嚙合剛度模型下的轉(zhuǎn)角響應曲線斜率基本相同，說明嚙合剛度對傳動鏈的傳動比基本沒有影響。