多軸數控系統在曲面加工中的應用
2023-8-15 來源： 廣西玉林農業學校 作者：譚偉美 劉燕萍 凌海全
摘要 ：該文在齊次坐標的形式下，推導了平移矩陣和旋轉矩陣，對多軸聯動系統任意關節處的位置和姿態變化進行數學建模。基于比較器組件、計數器組件和生成器組件構建了反饋形式的 RTPA 算法，用于多軸聯動數控系統加工過程中的實際控制，并對采樣頻率的影響進行了分析。最后以曲面仿真加工為例進行試驗研究，試驗結果表明 ：在 RTPA 算法的控制下，多軸聯動數控系統可以有效地完成曲面加工。
關鍵詞 ：多軸聯動 ；數控系統 ；曲面加工 ；RTPA 算法
制造業的集成化水平、自動化水平，已經成為衡量一個國家科技實力的重要標準。我國是制造業大國，涵蓋了世界上絕大多數的機械加工門類 [1]，其中的數控技術和數控系統發揮了非常重要的作用。對各種復雜類型的機械加工任務，只有具備更多軸數聯動的數控加工技術和方法，才能更高效率地將其完成 [2]。因此，多軸聯動數控系統的設計以及多軸聯動的數控加工方法已經成為判斷機械加工制造行業競爭力的核心內容 [3]。目前，我國在 5 軸及 5 軸以上的聯動數控系統研制和數控加工方法方面與世界先進水平存在一定差距，這也成為制約我國機械加工行業深度發展的瓶頸問題。為此，該文以 5 軸聯動的數控系統為研究對象，通過數學模型分析和控制過程研究，給出其在曲面加工中的具體應用。
1、多軸數控系統位姿的數學模型
多軸聯動的數控系統，其控制功能和加工效果實現的關鍵在于位置和姿態的準確刻畫與合理動態連接。為此，該文先以齊次坐標的形式對多軸聯動數控系統的位置和姿態進行數學建模。
多軸聯動數控加工系統一系列動作的完成，在三維空間中表現為各個關節、各個軸的旋轉運動和平移運動的累加效果。因此，要從數學角度刻畫多軸聯動數控系統，就依賴于對旋轉矩陣和平移矩陣的刻畫。
如果空間中任意一點 A，通過平移變換變成 A' 點的位置，并且它在 x、y、z 這 3 個坐標軸上分別平移了 a、b、c個單位，那么存在如公式（1）所示的平移關系。
如果空間中任意一點 A，通過旋轉變換變成 A' 點的位置，并且它繞 z 旋轉的角度為 θ，那么存在如公式（2）所示的旋轉關系。
同理，還可分別得到任意一點繞 y 軸和繞 x 軸的旋轉矩陣，以及這 2 個矩陣的齊次表達。進一步推廣這個做法，可以得到任意一點繞空間任意軸線的旋轉矩陣，它也將體現為繞 x、y、z 軸做旋轉運動的組合形式。得到了空間任意一點位置變化的平移矩陣和旋轉矩陣，就可以建立這一點位置變化的數學模型。這樣的思路同樣適用于空間任意一個坐標系和空間任意一個物體。多軸聯動的數控加工過程就是承擔加工任務的操作端，進行多個平移運動和繞多個軸線做旋轉運動的組合效果。
假設多軸聯動系統的末端操作裝置的位置變換如圖 1所示。如圖 1 所示，多軸聯動系統的末端操作裝置一共進行了2 次變換，一次是分別沿 x 軸和 y 軸進行了 2 次平移運動，一次是繞 z 軸做了 90°的旋轉。
圖 1 多軸聯動系統的末端操作裝置的位置變換
可見，有了上面的建模方法，就可以對多軸聯動系統任意關節、任意動作進行平移運動和旋轉運動的組合描述。
2、多軸數控系統的加工過程控制
能夠通過數學模型對多軸聯動的數控系統進行描述以后，如何設定數控程序，讓系統按照既定的路線完成加工任務，是整個數控過程的難點。該文為多軸聯動數控系統的加工過程設計了一個具有較好實時性的脈沖控制算法，簡稱 RTPA（Real time pulse algorithm）算法。
數控加工的過程一般是通過插補算法來實現和完成的，而數控加工中的每個軸的控制是根據步進電機的脈沖來實現的，這就需要形成插補過程和脈沖生成時序之間的對應關系。但是，傳統的根據脈沖頻率進行插補過程的設計的實時性并不理想。為此，該文從 V-F 變換算法（電壓 - 頻率）的角度出發，設計了一個新的具有更好實時性的脈沖生成算法。通過這個算法所產生的脈沖序列可實現對多軸聯動數控系統更有效的控制。
這個算法使用了比較器組件、計數器組件和生成器組件共同產生具有較好實時性的脈沖序列，其算法的原理框圖如圖 2 所示。
圖 2 多軸聯動系統 RTPA 控制算法的原理框圖
根據圖 2 可知，多軸聯動系統某一關節或末端裝置的位移經過采樣以后作為 RTPA 算法的輸入，采樣頻率是 f。采樣位移值輸入以后，與反饋支路上根據脈沖計數器形成的脈沖當量進行比較，二者比較之后的差異進入脈沖生成器作為脈沖序列產生的判斷依據。脈沖生成器會形成 2 個輸出，分別是正向脈沖和反向脈沖，這也分別對應于步進電機的正轉和反轉。
對脈沖生成器產生正向脈沖還是反向脈沖的判斷，取決于輸入與反饋支路比較的累積誤差和設定域值（value）之間的比較，比較規則如下。規則一：如果輸入與反饋支路比較的累積誤差之和大于設定域值，則脈沖生成器生成正向脈沖并輸出。規則二：如果輸入與反饋支路比較的累積誤差之和小于設定域值的相反數，則脈沖生成器生成反向脈沖并輸出。
決定該文算法的關鍵參數還有位移作為輸入前的采樣頻率 f。為了判斷采樣頻率 f 對 RTPA 算法性能的影響，該文分別設置采樣頻率為 5 kHz 和 20 kHz，繪制其位移響應曲線和速度響應曲線，結果如圖 3 所示。
圖 3 采樣頻率對多軸聯動系統算法性能的影響
圖 3（a）圖左側代表了采樣頻率為 5kHz 時 RTPA 算法的位移響應曲線，右側代表了采樣頻率為 20kHz 時 RTPA算法的位移響應曲線 ；圖 3（b）圖左側代表了采樣頻率為20kHz 時 RTPA 算法的速度響應曲線，右側代表了采樣頻率為 20kHz 時，RTPA 算法的速度響應曲線。
從圖 3（a）可以看出，采樣頻率越大，采樣周期越小，RTPA 算法的位移響應速度越快。從左、右圖的對比可以看出，采樣頻率為 5kHz 時，RTPA 算法的位移響應經過 0.58s，多軸聯動系統的實際位移才能和理想位移吻合 ；采樣頻率為 20kHz 時，RTPA 算法的位移響應經過 0.16s，多軸聯動系統的實際位移就和理想位移吻合。這表明，采樣頻率為20kHz 時的位移響應比采樣頻率為 5kHz 時的位移響應足足快了 0.42s。
從圖 3（b）可以看出，采樣頻率越大，采樣周期越小，RTPA 算法的速度曲線響應越快。從左、右圖的對比可以看出，采樣頻率為 5 kHz 時，RTPA 算法的速度響應經過 0.5 s，多軸聯動系統的實際速度才能和理想速度吻合；采樣頻率為 20 kHz時，RTPA 算法的速度響應經過 0.13 s，多軸聯動系統的實際速度就和理想速度吻合。這表明，采樣頻率為 20 kHz 時的速度響應比采樣頻率為 5 kHz 時的速度響應足足快了 0.37 s。
3、多軸數控系統的曲面加工仿真試驗
在前面的工作中，分別針對多軸聯動數控系統進行了位置姿態建模和 RTPA 控制算法設計，并通過關鍵參數的影響分析確定了多軸聯動數控系統的有效控制策略。接下來將進行仿真試驗，以驗證該文所提出的多軸聯動系統的 RTPA 算法控制性能。仿真試驗選擇曲面加工作為多軸聯動數控系統的加工對象。曲面在各種加工單元中具有一定的復雜性，并且對控制算法有比較精細的要求。而整個曲面的加工完成是通過連續的曲線加工軌跡來完成的。該文要加工的曲面的仿真結果如圖 4 所示。
圖 4 該文要加工的曲面的仿真結果
從圖 4 可以看出，該文要加工的曲面是在 x 方向上形成軸向寬度、在 y 方向上形成徑向寬度的一段曲面，曲面的曲率半徑則位于 z 軸方向。圖 4 中還給出了刀具的初始位置即起刀點，曲面上的平行曲線則表明在 RTPA 算法控制下的加工軌跡。
曲面的數控加工方法有很多種，例如基于軌跡生成參數的加工路線法、基于 CC 路徑的截面數據加工路線法以及基于路徑的截面加工路線法等。該文選擇了基于 CC 路徑的截面數據加工路線法，同時結合 Z 字形走刀完成加工。加工過程中，RTPA 算法在 x 軸方向上、y 軸方向上和 z軸方向上，根據 RTPA 算法得到的位移和速度曲線的控制效果如圖 5 所示。
圖 5 RTPA 算法在 3 個方向上對位移和速度曲線的控制效果
從圖 5（a）中可以看出，RTPA 算法在 x 軸方向上對位移的控制形成了三角波的曲線形式。受到加工任務的限制，RTPA算法在 x 軸方向上的位移最大值為 0 mm，最小值接近 -150 mm的位置，位移曲線的三角波周期 4.17 s。RTPA 算法在 x 軸方向上對速度的控制形成了矩形方波的曲線形式，但因為加工過程的影響出現了一定的抖動。RTPA 算法在 x 軸方向上的速度最大值接近 80 mm/s，最小值接近 -80 mm/s，速度曲線的矩形方波周期 4.17 s。從圖 5（b）中可以看出，RTPA 算法在 y 軸方向上對位移的控制形成了階躍波的曲線形式。受到加工任務的限制，RTPA算法在 y 軸方向上的位移最大值為 0 mm，最小值接近 -6 mm的位置，位移曲線的階躍波周期 4.17 s。RTPA 算法在 y 軸方向上對速度的控制形成了脈沖波的形式。RTPA 算法在 y 軸方向上的速度最大值為 0 mm/s，最小值為 -10 mm/s，速度曲線的矩形方波周期 4.17 s。
從圖 5（c）中可以看出，RTPA 算法在 z 軸方向上對位移的控制形成了正弦半波的曲線形式。受到加工任務的限制，RTPA 算法在 z 軸方向上的位移最大值為 6.2 mm，最小值為 0 mm 的位置，位移曲線的正弦半波周期 2.08 s。RTPA算法在 z 軸方向上對速度的控制形成了鋸齒波的曲線形式。RTPA 算法在 z 軸方向上的速度最大值接近 15 mm/s，最小值接近 -15 mm/s，速度曲線的鋸齒波周期 2.08 s。
4、結論
該文對多軸聯動的數控系統進行了研究。首先，在齊次坐標的形式下，對多軸聯動系統任意關節處的位置和姿態變化進行數學建模，推導了平移矩陣和旋轉矩陣的產生過程。其次，基于比較器組件、計數器組件和生成器組件構建了反饋形式的 RTPA 算法，用于多軸聯動數控系統加工過程中的實際控制，并對采樣頻率的影響進行了分析。最后，以曲面仿真加工為例進行了驗證性試驗，試驗結果表明 ：該文采用的基于 CC路徑的截面數據加工路線法，同時結合 Z 字形走刀可以順利完成加工。同時，RTPA 算法在 3 個坐標軸方向上對位移和速度都進行了有效的控制。
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