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５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床彈性動(dòng)力學(xué)分析

2016-12-7 來源：燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室作者：周鑫許允斗姚建濤鄭魁敬趙永生

摘要:結(jié)合有限元法和子結(jié)構(gòu)法建立了５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的彈性動(dòng)力學(xué)模型.首先,將系統(tǒng)劃分為不同的子結(jié)構(gòu),根據(jù)空間柔性梁理論求出單元?jiǎng)恿W(xué)方程,根據(jù)關(guān)節(jié)特點(diǎn)將各個(gè)梁?jiǎn)卧M裝成各個(gè)驅(qū)動(dòng)分支;根據(jù)分支與動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)約束,將各個(gè)分支進(jìn)行裝配,從而得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程.以５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床作為算例,求出其動(dòng)平臺(tái)中心的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性.通過比較５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床及５-UPS/PRPU 非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),可以得到結(jié)論:冗余驅(qū)動(dòng)可以明顯改善該機(jī)床彈性動(dòng)力學(xué)特性,從而減小因彈性變形引起的誤差.研究結(jié)果為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及優(yōu)化提供可靠的依據(jù).

關(guān)鍵詞:并聯(lián)機(jī)床;冗余驅(qū)動(dòng);彈性動(dòng)力學(xué);動(dòng)態(tài)特性比較

０.引言

并聯(lián)機(jī)器人具有剛度高、承載能力強(qiáng)以及模塊化程度高等特點(diǎn),廣泛應(yīng)用于航空航天、國(guó)防軍事等領(lǐng)域.然而,由于并聯(lián)機(jī)器人的工作空間小、容易產(chǎn)生奇異位型等缺點(diǎn),在實(shí)際生產(chǎn)中往往通過引入冗余驅(qū)動(dòng)的概念去解決這些問題.高速、輕型化是并聯(lián)機(jī)器人發(fā)展的主要趨勢(shì).然而,當(dāng)輕型化的機(jī)器人在重載且高速的環(huán)境下工作時(shí),往往會(huì)由于各個(gè)分支的彈性變形影響其運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)性能,從而降低機(jī)器人的精度.因此,有必要對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行彈性動(dòng)力學(xué)分析,并通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化提高其動(dòng)力學(xué)特性.Liu 等[４]通過考慮連桿的變形,分析了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性.

胡俊峰等提出了一種簡(jiǎn)單而精確的彈性動(dòng)力學(xué)建模方法,并通過實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證.文獻(xiàn)分別針對(duì)不同的機(jī)構(gòu)建立了彈性動(dòng)力學(xué)模型,并且進(jìn)行了相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)分析.陳修龍等[１０]基于機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)模型提出了一種優(yōu)化方法.CammaraＧta 等提出了一種約束優(yōu)化方法,該方法改善了３T１R 并聯(lián)機(jī)器人的彈性動(dòng)力學(xué)性能;Alberto等采用一種新的重力補(bǔ)償方法,分析了四桿機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)特性;Zhang 等以３-PRS 為例,通過建立其彈性動(dòng)力學(xué)模型提出了一種能夠分析其關(guān)節(jié)約束反力的方法.文獻(xiàn)分別從結(jié)構(gòu)、理論方法以及控制的角度對(duì)３-PRR 柔性并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了深入的分析.綜上所述,現(xiàn)有文獻(xiàn)大多針對(duì)非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行彈性動(dòng)力學(xué)分析,而對(duì)于冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分析并不多.Zhao等比較了６-PSS 與８-PSS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)平臺(tái)的彈性動(dòng)力學(xué)特性.除此之外,鮮有文獻(xiàn)對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究,對(duì)于通過將主動(dòng)副代替被動(dòng)副從而實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)冗余機(jī)構(gòu)的相關(guān)研究更是鮮有報(bào)道.

本文對(duì)５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了分析.首先通過結(jié)合子結(jié)構(gòu)法和有限單元法,建立了空間單元的彈性動(dòng)力學(xué)模型;然后根據(jù)各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)特性,將單元?jiǎng)恿W(xué)模型進(jìn)行組裝,并根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)約束,得到系統(tǒng)總體的彈性動(dòng)力學(xué)模型;最后以相應(yīng)的５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床為算例,通過與相應(yīng)的５-UPS/PRPU 非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)中心的彈性位移進(jìn)行比較,證明冗余驅(qū)動(dòng)對(duì)機(jī)床性能的改善.

１.動(dòng)力學(xué)建模

５-UPS/PRPU 五自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床如圖１所示,它由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及６條驅(qū)動(dòng)分支等組成.機(jī)床的加工運(yùn)動(dòng)可以通過５條結(jié)構(gòu)相同的UPS 驅(qū)動(dòng)分支及PRPU 分支(冗余分支)的移動(dòng)副共同實(shí)現(xiàn).各個(gè)移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)主要通過滾珠絲杠/螺母實(shí)現(xiàn).此外,沿動(dòng)平臺(tái)中心的法線方向的轉(zhuǎn)動(dòng)被PRPU 分支所約束,因此,PRPU 分支也可以稱為約束分支.R、U、S、P 分別代表轉(zhuǎn)動(dòng)副、虎克鉸、球副以及移動(dòng)副.由于機(jī)床動(dòng)平臺(tái)能夠?qū)崿F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的自由度數(shù)目是５,而驅(qū)動(dòng)數(shù)目為６,故機(jī)床表示為５-UPS/PRPU 五自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床.

圖１　５-UPS/PRPU 機(jī)床模型結(jié)構(gòu)圖

機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖２所示.對(duì)于該冗余驅(qū)動(dòng)五自由度并聯(lián)機(jī)床,由于機(jī)床動(dòng)平臺(tái)以及定平臺(tái)剛度很大,故忽略其彈性變形,在此假設(shè)其為剛形體;由于滑塊剛度很大,同樣將其考慮成剛體,忽略其彈性變形.因此,在本文分析過程中考慮５個(gè)UPS 驅(qū)動(dòng)分支的彈性變形;另外,將PRPU 分支的RPU 分支部分視為彈性體.

圖２　５-UPS/PRPU 機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

１．１　單元?jiǎng)恿W(xué)方程

根據(jù)機(jī)床分支實(shí)際結(jié)構(gòu),將空間柔性梁?jiǎn)卧Ｐ偷刃閳A柱形截面,如圖３所示.該空間兩

圖３　空間柔性梁?jiǎn)卧Ｐ?/font>

１．２　分支及動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程

首先分別將UPS 分支以及PRPU 分支等效為懸臂梁.對(duì)于PRPU 分支,則將R ０點(diǎn)考慮為固定端,故其彈性位移及轉(zhuǎn)角均為０;對(duì)于P ０點(diǎn),由于該點(diǎn)(移動(dòng)副)鏈接的兩個(gè)單元分屬不同的構(gòu)件,故應(yīng)當(dāng)設(shè)置不同的彈性位移;對(duì)于U ０處(虎克鉸)可以等效成兩個(gè)匯交不共面的轉(zhuǎn)動(dòng)副,所以,U ０處對(duì)應(yīng)的兩個(gè)曲率也為０.對(duì)于UPS 分支,同樣將U i (i ＝１,２,......,５)點(diǎn)考慮為懸臂梁的固定端,那么其彈性位移及轉(zhuǎn)角均為零;由于P i 點(diǎn)連接兩個(gè)不同的構(gòu)件,故也設(shè)置不同的彈性位移;對(duì)應(yīng)S i 處為球鉸,因此,沿三個(gè)方向的曲率也為零.各個(gè)分支的系統(tǒng)坐標(biāo)系設(shè)置如圖４所示.

圖４　分支在參考坐標(biāo)系下的廣義坐標(biāo)

其中,M i 、K i 、F i 分別為分支的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及分支所受的外載荷向量.U 表示由各個(gè)分支在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)所組成的向量.

１．３　動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)前文的假設(shè),由于動(dòng)平臺(tái)的剛度很大,故考慮成剛體,則動(dòng)平臺(tái)與各個(gè)驅(qū)動(dòng)分支連接結(jié)點(diǎn)不是獨(dú)立的.因此,假設(shè)動(dòng)平臺(tái)與各個(gè)驅(qū)動(dòng)分支連接結(jié)點(diǎn)一致,且各驅(qū)動(dòng)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)的力與作用在動(dòng)平臺(tái)的外力相平衡,由此可以分別得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程及其動(dòng)力學(xué)方程.根據(jù)對(duì)動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)分析作為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)約束,有

１．４　系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的裝配

將分支系統(tǒng)中的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣分解成以下形式:

通過將各個(gè)分支動(dòng)力學(xué)方程(式(８))與動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程(式(９))結(jié)合,再結(jié)合文獻(xiàn)-中的運(yùn)動(dòng)約束方程即可得到５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床整體彈性動(dòng)力學(xué)方程:

構(gòu)造冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的方法有三種:① 將被動(dòng)運(yùn)動(dòng)副替換為主動(dòng)運(yùn)動(dòng)副,即關(guān)節(jié)式的冗余驅(qū)動(dòng);② 支鏈?zhǔn)降娜哂囹?qū)動(dòng),即通過添加一條或多條驅(qū)動(dòng)支鏈從而使機(jī)構(gòu)的實(shí)際驅(qū)動(dòng)鏈數(shù)目超過其運(yùn)動(dòng)所需的支鏈數(shù)目;③ 以上兩種方法的綜合.５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床屬于第一種類型,即通過添加冗余電機(jī)從而構(gòu)造出冗余驅(qū)動(dòng).值得注意的是,冗余電機(jī)的添加,使得整個(gè)系統(tǒng)具有６個(gè)驅(qū)動(dòng)輸入.理論上而言,機(jī)床的任意位姿都對(duì)應(yīng)著無窮多組解.因此,在確定各個(gè)分支的驅(qū)動(dòng)力時(shí),允許根據(jù)不同的優(yōu)化目標(biāo)通過采用不同的優(yōu)化算法優(yōu)化機(jī)床分支的驅(qū)動(dòng)力.考慮到實(shí)際的加工問題,本文采用文獻(xiàn)中的優(yōu)化方法,根據(jù)達(dá)朗伯原理求解冗余分支的驅(qū)動(dòng)力,從而以使冗余分支的大滑塊能夠更好地跟隨動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo).另外,對(duì)于非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的驅(qū)動(dòng)力,則可根據(jù)拉格朗日方程直接求出.機(jī)床剛體動(dòng)力學(xué)的部分不再贅述.

２.動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

２．１　機(jī)床動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性分析

為了分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性,令５-UPS/PRPU 五自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)平臺(tái)中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為

表１　機(jī)床基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

表２　UPS 分支基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

表３　PRPU 分支基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量為４５ kg, 密度為７８００kg/m３ ,剪切彈性模量為７９ GPa,拉壓彈性模量為２１０ GPa.為了比較機(jī)床在冗余驅(qū)動(dòng)與非冗余驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性,分別計(jì)算了５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床與其相應(yīng)的５-UPS/PRPU 非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)中心的彈性位移以及對(duì)應(yīng)的剛性位移.如圖５~圖１０所示,實(shí)線部分表示冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)中心的彈性位移,虛線部分表示非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)中心的彈性位移.

圖５　沿x 軸方向的線位移

圖６　沿y 軸方向的線位移

圖７　沿z 軸方向的線位移

圖８　沿x 軸方向的角位移

比較分析圖５ ~圖１０可知冗余驅(qū)動(dòng)對(duì)機(jī)床整體動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響情況.對(duì)于冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床,由分支變形引起平臺(tái)中心在x 、y 、z 方向的線/角位移的最大誤差值分別為－０．０１８９ mm、０.０２１９ mm、０．１００８ mm;－０．１５０７°、０．１３６１°、

圖９　沿y 軸方向的角位移

圖１０　沿z 軸方向的角位移

０.００６４°.而對(duì)于非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床,各個(gè)方向的最大誤差值分別為－０．０２１ mm、０．０２３６ mm、０．１１１４ mm;－０．１５８１°、０．１４０３°、０．００６８°.由此可見,無論是對(duì)于冗余驅(qū)動(dòng)還是非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床,最大移動(dòng)誤差均沿z 方向,轉(zhuǎn)動(dòng)方向的最大誤差值均沿x 方向.除此之外,可以看出該冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床在x 、y 、z 三個(gè)方向的移動(dòng)誤差及x 、y 方向的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差均小于其非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床,且最大移動(dòng)誤差減小了０．０１０６ mm,最大轉(zhuǎn)動(dòng)誤差減小了０．０４２°.因而可以得出冗余驅(qū)動(dòng)可以改善機(jī)床的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的結(jié)論.

需要說明的是,由于各個(gè)方向的實(shí)際位移均以某一數(shù)值為中心往復(fù)波動(dòng),說明其動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)由于各個(gè)驅(qū)動(dòng)分支變形所引起的彈性位移是以某一點(diǎn)為中心的彈性振動(dòng).

２．２　仿真驗(yàn)證

該冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的固有頻率由下式得到:

通過觀察式(１３)不難發(fā)現(xiàn),該機(jī)床的整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均與機(jī)床的位姿相關(guān),因此,計(jì)算了機(jī)床在不同位姿下的固有頻率,并通過有限元軟件中的模態(tài)分析進(jìn)行驗(yàn)證.圖１１所示為機(jī)床在初始位姿時(shí)各階固有頻率在有限元仿真軟件

圖１１　冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床各階固有頻率仿真結(jié)果

中的計(jì)算結(jié)果,比較分析可知,本文理論模型所得結(jié)果與有限元仿真結(jié)果的變化趨勢(shì)一致,可以在一定程度上證明本文模型的有效性.

３.結(jié)論

(１)本文結(jié)合有限單元法與子結(jié)構(gòu)法推導(dǎo)了５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的彈性動(dòng)力學(xué)模型.

(２)比較了５-UPS/PRPU 冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床與其非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性.

(３)冗余驅(qū)動(dòng)可以在一定程度上改善冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性.此外,可以采用本文的方法對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化;通過理論分析找到機(jī)床誤差最小的位置,從而進(jìn)行軌跡規(guī)劃,提高機(jī)床加工精度.

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